如何求解二体问题中哈密顿算符的本征方程？《张朝阳的物理课》介绍分离变量依此

的表达式消去狄拉克相对论，可将狄拉克相对论写为：

从上式可见，虽然等号右边的乘积相对论可以明显分并成关于电荷1与电荷2的另行两项，但梯度项则同时与两电荷的坐标系有关，它将电荷1与电荷2电磁场在三人，所以狄拉克相对论整体不会单纯地受控，这为我们解狄拉克相对论的本征微分方程带来难于。所以我们并不需要寻找取而代之的参数来叙述系统对，并且狄拉克相对论在取而代之参数的回应下可以受控并成不互不电磁场的两一小，从而简化微分微分方程的解。

由于梯度u(x1-x2)只与两电荷的相对来说所在位置有关，最自然的意念便是落选择相对来说坐标系x=x1-x2为取而代之参数之一，这样梯度u(x)只与另行一个参数x有关。相对来说坐标系x叙述的是系统对各一小的相对来说所在位置就其情况，不会叙述系统对整体的所在位置，但系统对的刚体坐标系x_cm则可以。所以最终我们落选择的取而代之参数为：两电荷的刚体坐标系x_cm与相对来说坐标系x，取而代之从新参数人关系如下：

人口为120人表达式，当我们固定取而代之参数x_cm与x中的的一个时，另一个参数可以假定假定，并且我们还可将从新参数x1与x2用取而代之参数回应出来：

这概述取而代之参数可以也就是说从新参数其所也就是说的所有点，取而代之参数完全可以替代从新参数作为相对论的自参数。于是我们可以令取而代之参数x_cm与x为独立国家参数，对其中的一个参数求偏等价的每一次中的另一个参数保持不变。相对论就其用取而代之参数x_cm与x回应为：

从上式可以看不到，用取而代之参数x_cm与x回应的表达式ψ(x_cm，x)其实是从新参数表达式ψ(x1，x2)与取而代之从新参数人拉格朗日的填充表达式，那么通过填充表达式乘积的链式国法则可以取得表达式ψ(x_cm，x)关于x_cm的等价为：

为了书写不方便，将上述乘积直译并成如下福本（详情类似）：

全然，通过链式国法则可以算出ψ(x_cm，x)关于x的等价为：

必要功能性定义约化质量：

则有：

比如说电荷电场的定义，可以定义与相对来说坐标系x完全相同的相对来说电场相对论为：

那么它跟电荷1与电荷2的电场相对论有如下人关系：

显然在相对论中的，电场p与运动速度v的人关系为p=mv，那么上述恒等式在相对论来看，暗示相对来说电场正是约化质量μ乘积相对来说青年运动运动速度，这符合标准之前在相对论中的解二体相对来说青年运动微分方程的图形，即二体相对来说青年运动一小可以等效为坐标系为相对来说坐标系且质量为约化质量μ的一个点的青年运动。

（张朝阳假设刚体电场与相对来说电场跟电荷电场的人关系）

类似地，我们也可以定义与刚体坐标系x_cm完全相同的刚体电场相对论：

那么根据原先关于刚体坐标系乘积的表达式可以取得：

另外，我们告诉他电荷1与电荷2的电场相对论对易，由此就其刚体电场相对论与相对来说电场相对论也对易：

用坐标系来回应上述相对论的对易人关系，则就其关于刚体坐标系的偏导与关于相对来说坐标系的偏导是可交换的：

有了这些立即基本知识，接下来我们将把狄拉克相对论用刚体坐标系与相对来说坐标系这组取而代之参数回应出来。值得注意也是来进行填充表达式的链式国法则，关于x1的偏导与关于x2的偏导可以分别写为：

与

由于关于刚体坐标系的偏导与关于相对来说坐标系的偏导是可交换的，那么对它们分别再做一次x1与x2的偏导，必要功能性取得二次偏导的表达式为：

与

将这两个二次偏导的表达式消去狄拉克相对论中的并如此一来，可取得由取而代之参数回应的狄拉克相对论为：

其中的M是两电荷的数层M=m1+m2。这个由取而代之参数表达的狄拉克相对论带有更好的形式，主要特质是刚体坐标系x_cm与相对来说坐标系x没有电磁场了。接下来就可以作出受控参数国法将这两个参数受控开来另行考虑。首先令相对论带有如下参数受控的福本：

将其消去如下狄拉克相对论的本征微分方程中的：

通过如此一来与移项，可以将此本征微分方程溶解并成两个独立国家的本征微分方程，其中的一个是关于两电荷刚体青年运动一小：

另一个是关于两电荷相对来说青年运动一小：

其中的我们另外要求两微分方程的本征值与E符合标准如下人关系：

无论如何经过溶解的本征微分方程只有一个参数，相当于原本繁杂的二体疑虑合而为一了单纯的单体疑虑，进而可以解出本征态与本征值来。

（张朝阳来进行受控参数国法解狄拉克相对论的本征微分方程）

相对论对易人关系与合作本征态

前面为了来进行受控参数国法解本征微分方程，我们将狄拉克相对论H溶解并成了刚体青年运动一小Hcm：

与相对来说青年运动一小Hr：

若我们必要功能性将上述取得的刚体青年运动微分方程代替在受控参数每一次中的约去的表达式ψ₂(x),可以取得：

这概述带有受控参数福本的相对论ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)是刚体青年运动一小Hcm的本征态。

值得注意地，将相对来说青年运动微分方程代替表达式ψ₁(x_cm)可得：

这概述相对论ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)同时也是相对来说青年运动一小Hr的本征态。所以受控参数国法中的使用的最极为极其重要的相对论ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)，正是刚体青年运动一小Hcm与相对来说青年运动一小Hr的合作本征态。我们接下来先研讨相对论的对易功能性与合作本征态的存在功能性彼此之间的人关系。

首先证明：若两个相对论A与B对易，且相对论A的本征态ψn不自由电子，那么它们确合作本征态。置相对论A的本征微分方程如下：

那么由相对论A与B的对易功能性可得：

其中的第一个等号来进行了相对论A与B的对易功能性，第二个等号来进行了相对论A的本征微分方程。上式暗示的电子Bψn是相对论A 的本征态，且其本征值与ψn完全相同的本征值一样。由于A的本征态是不自由电子的，所以的电子Bψn与ψn至多略低一个人口比例分量，即：

这正是相对论B的本征微分方程，且相对论A的本征态ψn同时也是相对论B的本征态。

接着，我们必要功能性证明，若相对论A与B所拥有的合作本征态ψn的子集{ψn}构并成阿贝尔空间内的完备福，那么相对论A与B对易。由于{ψn}构并成完备福，假定取一个的电子ψ都可以按照{ψn}揭开：

由于ψn是相对论A与B的合作本征态，那么相对论A与B效用在以ψn揭开后的电子ψ上可得：

由于的电子ψ是假定的，所以相对论A与B对易。

回过头来看我们受控参数国法加进的相对论ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)，我们借此所有的相对论都可以用这样的受控参数后的相对论来揭开，而刚刚也毫无疑问ψ₁(x_cm)ψ₂(x)是刚体青年运动一小Hcm与相对来说青年运动一小Hr的合作本征态，这概述相对论Hcm与相对论Hr的合作本征态是完备的，这就要求相对论Hcm与Hr对易。

基本上，通过刚体电场相对论与相对来说电场相对论的对易人关系，以及刚体坐标系与相对来说坐标系的某种程度，即可计算验证Hcm与Hr确有是对易的，这与上述归纳自洽。所以，我们若想可以用受控参数国法来解狄拉克相对论的本征微分方程，那就并不需要将狄拉克相对论溶解并成互不对易的相对论，通过解这些对易相对论相对来说单纯的本征微分方程来破解原狄拉克相对论的本征微分方程，这正是我们解氢定态洛伦兹微分方程时加进的工具。

据了解，《张朝阳的力学功课》于每周周五、星期六中的午12时在新浪片段电视转播，网友可以在新浪片段“关注流”中的搜索“张朝阳”，观看电视转播及往期完整片段回放；关注“张朝阳的力学功课”帖子，提示功课程中的的“基本知识点”短片段。此外，还可以在新浪取而代之闻APP的“新浪科技”帖子上，阅览每期力学功课程的参考文章。

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